概率论一：随机事件与概率

随机事件

基本定义

随机事件：

• 随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为$\Omega=\left\{ \omega \right\}$，其中$\omega$为基本结果，又称为样本点。
• 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，常用大写字母$A,B,C,…$表示。由样本空间$\Omega$中的单个元素组成的子集称为基本事件。
• 如果$A$与$B$没有相同的样本点，则称$A$与$B$
• 事件$A$的对立事件$\bar{A}$，由在$\Omega$中而不在$A$中的样本点组成的新事件。
• 德摩根律：$\bar{A\cup B}=\bar{A}\cap\bar{B}$

概率的性质：

• 若$A\supset B$，则 $$P(A-B)=P(A)-P(B)$$
• 对任意两个事件$A,B$，有 $$P(A-B)=P(A)-P(AB)$$
• 条件概率：在$B$发生下$A$的条件概率： $$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)},其中AB是事件A和B的交$$ 可以理解为：在事件B发生的所有现象中A也同时发生的现象
• 乘法公式： $$\begin{aligned} P(A|B)P(B)=P(AB) \end{aligned}\tag{1}$$ 若$P(A_{1}A_{2}…A_{n-1})>0$ $$\begin{aligned} P(A_{1}A_{2}...A_{n}) &=P(A_{1})\cdot \frac{P(A_{1}A_{2})}{P(A_{1})}\cdot \frac{P(A_{1}A_{2}A_{3})}{P(A_{1}A_{2})}\cdot\cdots\cdot \frac{P(A_{1}A_{2}...A_{n})}{P(A_{1}A_{2}...A_{n-1})}\\ &=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3}|A_{1}A_{2})\cdot\cdots\cdot P(A_{n}|P(A_{1}A_{2}...A_{n-1})) \end{aligned}\tag{2}$$
• 全概率公式：设$B_{1},B_{2},…,B_{n}$为样本空间$\Omega$的一个分割，如果$P(B_{i})>0$，则对任意事件$A$有 $$\begin{aligned} P(A)&=\sum_{i=1}^{n}P(B_{i})P(A|B_{i})\\ &=\sum_{i=1}^{n}P(AB_{i}) \end{aligned}$$ 可以理解为：$P(事件A)=\sum P(事件A与样本空间中每个不相容事件B_{i}的交)$
• 贝叶斯公式：设$B_{1},B_{2},…,B_{n}$为样本空间$\Omega$的一个分割，如果$P(B_{i})>0,P(A)>0$，则 $$\begin{aligned} P(B_{i}|A)&=\frac{P(AB_{i})}{P(A)} \\&=\frac{P(A|B_{i})P(B_{i})}{\sum_{i=1}^{n}P(AB_{i})} \\&=\frac{P(A|B_{i})P(B_{i})}{\sum_{j=1}^{n}P(A|B_{j})P(B_{j})} \end{aligned}$$ 可以理解为：每个被分割的不相容事件$B_{i}$在任意事件$A$发生的条件下的概率可以由每个事件$B_{i}$的概率和事件$A$在分割事件发生的条件下的概率$P(A|B_{i})$所求得