随机事件
基本定义
随机事件:
- 随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间,记为Ω={ω},其中ω为基本结果,又称为样本点。
- 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件,常用大写字母A,B,C,…表示。由样本空间Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件。
- 如果A与B没有相同的样本点,则称A与B
- 事件A的对立事件ˉA,由在Ω中而不在A中的样本点组成的新事件。
- 德摩根律:¯A∪B=ˉA∩ˉB
概率的性质:
- 若A⊃B,则P(A−B)=P(A)−P(B)
- 对任意两个事件A,B,有P(A−B)=P(A)−P(AB)
- 条件概率:在B发生下A的条件概率:P(A|B)=P(AB)P(B),其中AB是事件A和B的交 可以理解为:在事件B发生的所有现象中A也同时发生的现象
- 乘法公式:P(A|B)P(B)=P(AB)若P(A1A2…An−1)>0P(A1A2...An)=P(A1)⋅P(A1A2)P(A1)⋅P(A1A2A3)P(A1A2)⋅⋯⋅P(A1A2...An)P(A1A2...An−1)=P(A1)⋅P(A2|A1)⋅P(A3|A1A2)⋅⋯⋅P(An|P(A1A2...An−1))
- 全概率公式:设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个分割,如果P(Bi)>0,则对任意事件A有P(A)=n∑i=1P(Bi)P(A|Bi)=n∑i=1P(ABi)可以理解为:P(事件A)=∑P(事件A与样本空间中每个不相容事件Bi的交)
- 贝叶斯公式:设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个分割,如果P(Bi)>0,P(A)>0,则P(Bi|A)=P(ABi)P(A)=P(A|Bi)P(Bi)∑ni=1P(ABi)=P(A|Bi)P(Bi)∑nj=1P(A|Bj)P(Bj)可以理解为:每个被分割的不相容事件Bi在任意事件A发生的条件下的概率可以由每个事件Bi的概率和事件A在分割事件发生的条件下的概率P(A|Bi)所求得
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